Домашние задания по теоретической механике

Домашнее задание 7. 1) Тонкий стержень массы μ скользит по вертикальной неподвижной нити, проходящей через отверстие, проделанное в его середине. Найдите функцию Лагранжа такой системы. 2) Рассмотрите задачу о частоте малых колебаний половинки цилиндра, рассмотренную на семинаре, для случая абсолютно гладкой поверхности.

Домашнее задание 6. 1) Установить возможность возбудить в системе малые колебания и в случае возможности найти частоту и положение вблизи которого они будут происходить. Лагранжиан имеет вид:
2) Через два гладких горизонтальных стержня переброшена нить, концы которой соединены внизу шариком массы m. Найти закон колебаний, если в начальный момент времени отрезки нити составляли равнобедренный треугольник.

Домашнее задание 5. 1). Бусинка массы m может двигаться без трения по стержню, изогнутому в форме параболы, минимум которой находится в начале координат. С использованием формализма лагранжевой механики найти частоту колебаний бусинки. 2). Частица массы m движется по окружности, вращающейся вокруг своего вертикального диаметра с частотой ω. С использованием формализма лагранжевой механики найти положение равновесия и частоту малых колебаний вблизи этого положения. 

Домашнее задание 4. 1) Тело брошено под углом α к горизонту. Найти приблизительное уравнение траектории с учетом кривизны поверхности. Показать, что  при стремлении радиуса кривизны к бесконечности ("плоская Земля") мы получим уравнение параболы. 2) Определить годограф скорости, а также угол между скоростью и радиус-вектором положения спутника, вращающегося вокруг Земли по эллиптической орбите (при необходимости обратится к пособию). 

Домашнее задание 3. 1) В момент выведения спутника на круговую орбиту на высоте 300 км его скорость отклонилась от расчетной на величину ΔV. Найти эксцентриситет, фокальный параметр и отклонение  от круговой орбиты в перигее и апогее. 2) Известен фокальный параметр и эксцентриситет орбиты спутника, найти зависимость скорости от азимутального угла. 3) Изучить по источнику вывод формулы Бине (прим. формула (1.62)).

Домашнее задание 2. 1) Тело двигается по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти функцию Лагранжа и первые интегралы, записать уравнения движения. 
2) По закону движения 
восстановить функцию Лагранжа. 

Домашнее задание 1. 1) Длина математического маятника изменяется по закону l(t). Найдите функцию Лагранжа и запишите уравнения Лагранжа. 2) По гладкой внутренней поверхности сферы шарик, имеющий радиус много меньший радиуса сферы, может двигаться произвольно (а не только по экваториальной дуге, как было разобрано на семинаре). Построить лагранжиан, записать уравнения Лагранжа.