Механика: домашние задания

Домашнее задание 10. а) Система связанных посредством пружины маятников пружиной с такой же упругостью k соединена с неподвижной стеной. Когда маятники покоятся обе пружины находятся в нерастянутом положении. Найти нормальные частоты в этой системе. б) Найти амплитуды и фазы колебаний, которые возникнут при отведении правого маятника на угол 150 и отпускании его без начальной скорости.

Домашнее задание 9. а) Полупустая бутылка массой m плавает в воде в вертикальном
положении. Найдите частоту малых вертикальных колебаний бутылки,
если площадь сечения бутылки на уровне «ватерлинии» равна S. б) Физический маятник представляет собой систему трёх точечных грузов, соединённых невесомыми стержнями одинаковой длины l=0,3 м колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через общую точку О стержневой системы. Определить период колебаний маятника.

Домашнее задание 8. а) Частица массой m движется по эллиптической траектории
под действием центральной упругой силы F = −kr . Минимальная скорость частицы достигается при значении ее радиус-вектора, совпадающего с одним из фокусов эллипса (начало СО совпадает с силовым центром). Найти модуль максимальной скорости частицы υmax . б) Ознакомиться с понятием вектора Лапласа-Рунге-Ленца. Описать его свойства в применении к задачам небесной механики. Вычислить годограф скорости при движении планеты по эллиптической орбите. Чем задается радиус получающейся окружности?
Домашнее задание 7. а) Тонкая палочка длиной l и массой m лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пуля массой m0, летевшая перпендикулярно палочке и параллельно поверхности со скоростью υ0попадает в палочку на расстоянии  l/3 от ее середины и застревает в ней. Найти угловую скорость вращения системы тел после соударения. б) Тонкая палочка длиной l и массой m лежит на горизонтальной поверхности, коэффициент трения между палочкой и поверхностью μ. В самый край стержня произошел удар, сообщивший импульс p, ориентированный строго перпендикулярно стрежню. Сколько оборотов успеет совершить стержень вокруг своей оси, прежде чем остановится.
Домашнее задание 6. аОднородный диск радиуса R имеет круглый вырез. Масса осавшейся
части равна m. Найти момент инерции относительно центра диска (т.О) и центра его масс. 
б) На однородный сплошной цилиндр массы M=15 кг и радиуса R=20 см плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m=1 кг («ведро»). В начальный момент система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти с какой скоростью ударится ведро о поверхность воды, находящейся на глубине 3 м.

Домашнее задание 5. а) На неподвижной тележке находятся два человека. В каком случае тележка приобретет большую скорость: если люди спрыгнут с тележки одновременно или друг за другом в одном направленииб) По внутренней стороне закрепленной полусферы из верхней точки скатывается тело. Определить его скорость в нижней точке. в*) (по желанию) На дне сферы покоится тело, размеры которого малы по сравнению с радиусом сферы.  Какую скорость надо сообщить телу, чтобы, двигаясь строго по меридиональной дуге, оно оторвалось от сферы только в верхней точке. Коэффициент трения между сферой и телом k.
Домашнее задание 4. а) Два груза соединены через блок нитью. Какова должная быть сила трения бруска о поверхность, на которой он находится, чтобы грузы покоились. Перечислите и обоснуйте сделанные предположения. Представьте, что второе тело - это обезьяна, которая вскарабкивается вверх по веревке. Наложите условие на ускорение обезьяны, зная исходные расстояния и коэффициент трения, при котором она успеет вскарабкаться раньше, чем первое тело перелетит через блок. 
 
б) С незакрепленного клина массой M, находящегося на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности, скатывается брусок массой m. Найти скорости и ускорения тел, решая систему уравнений 2-го закона Ньютона (мы пока не используем законы сохранения). Рассмотреть два случая: брусок двигается с трением и без него. Сравнить. Объяснить разницу посредством качественных рассуждений.

Домашнее задание 3. а) Некоторое орудие может выпускать снаряд с начальной скоростью u, при этом угол наведения может быть любым в диапазоне [0, π]. Найдите так называемую "параболу безопасности" - отграничивающую пространство, в которое снаряд не может попасть, от области возможного поражения. б) В углу на абсолютно гладком полу стоит лестница. В момент, когда её отпускают, она начинает скользить, переходя из вертикального в горизонтальное положение. Принять, что нижний конец лестницы двигается с постоянной скоростью v. Найти описываемую траекторию и скорость точки, соответствующей середине лестницы. Объяснить полученный результат вблизи горизонтального положения.

Домашнее задание 2. По пособию С. Ю. Никитин,  С.С. Чесноков "Механика" а) задача 1.10.  б) задача 1.12.

Домашнее задание 1. а) Вывести выражение для ускорения в полярной системе координат (движение происходит в плоскости). б) Рассмотреть уравнение эллипса в полярных координатах. Вычислить величину ускорения тела, двигающегося по эллиптической орбите, в точке, задаваемой некоторым конкретным углом. Величину угла выбрать произвольно.